已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

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某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

$a$ ．七年级成绩频数分布直方图：

$b$ ．七年级成绩在 $70 ⩽ x < 80$ 这一组的是：

70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79

$c$ ．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

年级	平均数	中位数
七	76.9	$m$
八	79.2	79.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　　人；

（2）表中 $m$ 的值为　　；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $BA = BC$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，以 $AB$ 为直径的半圆 $O$ 交 $AC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是 $\hat{BD}$ 上不与点 $B$ ， $D$ 重合的任意一点，连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ 并延长交 $AC$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $ΔADF ≅ ΔBDG$ ；

（2）填空：

①若 $AB = 4$ ，且点 $E$ 是 $\hat{BD}$ 的中点，则 $DF$ 的长为　　；

②取 $\hat{AE}$ 的中点 $H$ ，当 $∠ EAB$ 的度数为　　时，四边形 $OBEH$ 为菱形．

题型：未知
难度：未知

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + 6 x + c$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．直线 $y = x - 5$ 经过点 $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$ 的直线交直线 $BC$ 于点 $M$ ．

①当 $AM ⊥ BC$ 时，过抛物线上一动点 $P$ （不与点 $B$ ， $C$ 重合），作直线 $AM$ 的平行线交直线 $BC$ 于点 $Q$ ，若以点 $A$ ， $M$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$ 的横坐标；

②连接 $AC$ ，当直线 $AM$ 与直线 $BC$ 的夹角等于 $∠ ACB$ 的2倍时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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（1）问题发现

如图1，在 $ΔOAB$ 和 $ΔOCD$ 中， $OA = OB$ ， $OC = OD$ ， $∠ AOB = ∠ COD = 40 °$ ，连接 $AC$ ， $BD$ 交于点 $M$ ．填空：

① $\frac{AC}{BD}$ 的值为　　；

② $∠ AMB$ 的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在 $ΔOAB$ 和 $ΔOCD$ 中， $∠ AOB = ∠ COD = 90 °$ ， $∠ OAB = ∠ OCD = 30 °$ ，连接 $AC$ 交 $BD$ 的延长线于点 $M$ ．请判断 $\frac{AC}{BD}$ 的值及 $∠ AMB$ 的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将 $ΔOCD$ 绕点 $O$ 在平面内旋转， $AC$ ， $BD$ 所在直线交于点 $M$ ，若 $OD = 1$ ， $OB = \sqrt{7}$ ，请直接写出当点 $C$ 与点 $M$ 重合时 $AC$ 的长．

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某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 $y$ （个 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：

销售单价 $x$ （元 $)$	85	95	105	115
日销售量 $y$ （个 $)$	175	125	75	$m$
日销售利润 $w$ （元 $)$	875	1875	1875	875

（注：日销售利润 $=$ 日销售量 $\times$ （销售单价 $-$ 成本单价） $)$

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出 $x$ 的取值范围）及 $m$ 的值；

（2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是　　元，当销售单价 $x =$ 　　元时，日销售利润 $w$ 最大，最大值是　　元；

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

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