（年浙江温州14分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（年浙江温州14分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动。以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为秒.

（1）当点C运动到线段OB的中点时，求的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.
①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.

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阅读下列材料：

已知：如图1，等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $P$ 是 $\hat{A_{1} A_{2}}$ 上的任意一点，连接 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $P A_{3}$ ，可证： $P A_{1} + P A_{2} = P A_{3}$ ，从而得到： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ 是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作 $∠ P A_{1} M = 60 °$ ， $A_{1} M$ 交 $A_{2} P$ 的延长线于点 $M$ ．

$∵$ △ $A_{1} A_{2} A_{3}$ 是等边三角形，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} A_{2} = 60 °$ ，

$∴ ∠ A_{3} A_{1} P = ∠ A_{2} A_{1} M$

又 $A_{3} A_{1} = A_{2} A_{1}$ ， $∠ A_{1} A_{3} P = ∠ A_{1} A_{2} P$ ，

$∴$ △ $A_{1} A_{3} P ≅$ △ $A_{1} A_{2} M$

$∴ P A_{3} = M A_{2} = P A_{2} + PM = P A_{2} + P A_{1}$ ．

$∴ \frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3}} = \frac{1}{2}$ ，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正方形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ”，其余条件不变，请问： $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4}}$ 还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△ $A_{1} A_{2} A_{3}$ ”改为“正五边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}$ ”，其余条件不变，则 $\frac{P A_{1} + P A_{2}}{P A_{1} + P A_{2} + P A_{3} + P A_{4} + P A_{5}} =$ 　　（只写出结果）．

题型：未知
难度：未知

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（1）当点 $F$ 运动到边 $BC$ 的中点时，求点 $E$ 的坐标；

（2）连接 $EF$ ，求 $∠ EFC$ 的正切值；

（3）如图2，将 $ΔCEF$ 沿 $EF$ 折叠，点 $C$ 恰好落在边 $OB$ 上的点 $G$ 处，求此时反比例函数的解析式．

题型：未知
难度：未知

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（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若等边 $ΔABC$ 的边长为8，求由 $\hat{DE}$ 、 $DF$ 、 $EF$ 围成的阴影部分面积．

题型：未知
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（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

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