如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线
上，且横坐标为1，点
与点
关于抛物线的对称轴对称，直线
与
轴交于点
，点
为抛物线的顶点，点
的坐标为
．
（1）求线段的长；
（2）点为线段
上方抛物线上的任意一点，过点
作
的垂线交
于点
，点
为
轴上一点，当
的面积最大时，求
的最小值；
（3）在（2）中，取得最小值时，将
绕点
顺时针旋转
后得到△
，过点
作
的垂线与直线
交于点
，点
为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点
，使以点
，
，
，
为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
对任意一个四位数，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称
为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数是另一个正整数
的平方，则称正整数
是完全平方数．若四位数
为“极数”，记
，求满足
是完全平方数的所有
．
在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．
（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？
（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值．2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为，且里程数之比为
．为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加
，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加
，
，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加
，
，求
的值．
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