已知数列满足，．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）证明：．

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知数列满足，．
（Ⅰ）求证：是等差数列；
（Ⅱ）证明：．

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（本小题满分12分）
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．
(1)求的分布列；
(2)求的数学期望．

题型：未知
难度：未知

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（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求在区间上的取值范围；
（2）当时，，求的值．

题型：未知
难度：未知

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已知集合 $S_{n} = {X | X = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} ）, x_{i} \in \{0, 1\}, i = 1, 2, . . ., n}$ , $(n \geq 2)$ 对于 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots a_{n},) ， B = (b_{1}, b_{2}, \dots b_{n},) \in S n$ ，定义 $A$ 与 $B$ 的差为 $A - B = (| a_{1} - b_{1} | ， | a_{2} - b_{2} | ， \dots | a_{n} - b_{n} | ）$ ；

$A$ 与 $B$ 之间的距离为 $d (A, B) = \sum_{i = j}^{n} |a_{i} - b_{i}|$

（Ⅰ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ，有 $A - B \in S_{n}$ ，且 $d (A - C, B - C) = d (A, B)$ ；

（Ⅱ）证明： $\forall A, B, C \in S_{n}$ ， $d (A, B), d (A, C), d (B, C)$ 三个数中至少有一个是偶数

（Ⅲ）设 $P \subseteq S n$ ,中有 $m (m \geq 2)$ 个元素，记 $P$ 中所有两元素间距离的平均值为 $\bar{d} (P)$ .证明： $\bar{d} (P) \leq \frac{m n}{2 (m - 1)}$ ．

题型：未知
难度：未知

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $B$ 与点 $A (- 1, 1)$ 关于原点 $O$ 对称， $P$ 是动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{3}$ .
(Ⅰ)求动点 $P$ 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 $A P$ 和 $B P$ 分别与直线 $x = 3$ 交于点 $M, N$ ，问：是否存在点 $P$ 使得 $△ P A B$ 与 $△ P M N$ 的面积相等？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) - x + \frac{x}{2} x^{2} (k ⩾ 0)$ .
(Ⅰ)当 $k = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
(Ⅱ)求 $f (x)$ 的单调区间.

题型：未知
难度：未知

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