如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

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随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中 $A$ 表示“一等奖”， $B$ 表示“二等奖”， $C$ 表示“三等奖”， $D$ 表示“优秀奖” $)$ ．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）获奖总人数为　　人， $m =$ 　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请根据树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．

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已知 $x - y = 2$ ， $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$ ，求 $x^{2} y - x y^{2}$ 的值．

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解不等式： $\frac{1 - x}{3} - x < 3 - \frac{x + 2}{4}$ ．

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已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象开口向上，且经过点 $A (0, \frac{3}{2})$ ， $B (2, - \frac{1}{2})$ ．

（1）求 $b$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时， $y$ 的最大值为1，求 $a$ 的值；

（3）将线段 $AB$ 向右平移2个单位得到线段 $A' B'$ ．若线段 $A' B'$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c + 4 a - 1$ 仅有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $AD$ ．

（1）如图1，若 $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 关于直线 $AB$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $AE$ ， $DE$ ，则 $∠ BDE =$ 　　；

（2）若 $∠ C = 60 °$ ，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $AE$ ，连结 $BE$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $CD$ 与 $BE$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} = k$ ，且 $∠ ADE = ∠ C$ ．试探究 $BE$ 、 $BD$ 、 $AC$ 之间满足的数量关系，并证明．

题型：解答题
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