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如图，在平面直角坐标系 中，将二次函数 的图象 沿 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 ．
（1）求 的函数表达式；
（2）设点 是以点 为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 与 轴相交于两点 、 ，求 的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 与 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．
已知 是等腰直角三角形， ， 是边 上一动点 、 两点除外），将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到 ，其中点 是点 的对应点，点 是点 的对应点．
（1）如图1，当 时， 是边 上一点，且 ，连接 ．求证： ；
（2）如图2，当 时， 与 相交于点 ．
①当点 与点 、 不重合时，连接 ，求 的度数；
②设 为边 的中点，当 从 变化到 时，求点 运动的路径长．
某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过 人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过 人时，人均收费都按照 人时的标准．设景点接待有 名游客的某团队，收取总费用为 元．
（1）求 关于 的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求 的取值范围．
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