用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数。(Ⅰ)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(Ⅱ)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;(Ⅲ)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。
(本小题满分13分)已知函数. (Ⅰ)当时,函数恰有3个零点,求实数的取值范围; (Ⅱ)若对任意,有恒成立,求的取值范围.
(本小题满分12分)已知一个袋子中有3个白球和3个红球,这些球除颜色外完全相同. (Ⅰ)每次从袋中取出一个球,取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数的分布列和数学期望; (Ⅱ)每次从袋中取出一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取3次,求取出红球次数的数学期望.
(本小题满分10分)已知函数在处取得极值. (Ⅰ)求实数的值; (Ⅱ)过点作曲线的切线,求此切线方程.
(本小题满分10分) (Ⅰ)证明: . (Ⅱ)已知圆的方程是,则经过圆上一点的切线方程为:,类比上述性质,试写出椭圆类似的性质.
(本小题满分14分)已知函数,且 (Ⅰ)试用含的代数式表示; (Ⅱ)求 的单调区间; (Ⅲ)令,设函数在 处取得极值,记点证明:线段与曲线 存在异于、的公共点.