如图，椭圆的顶点为焦点为，，.

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过，且与椭圆相交于两点，当是的中点时，求直线的方程．
（3）设为过原点的直线，是与垂直相交于点且与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.