抛物线与x轴分别交于点A (-1,0)和点B,与y轴的交点C坐标为(0,-3).(1)求抛物线的表达式;(2)点D为抛物线对称轴上的一个动点,若DA+DC的值最小,求点D的坐标.
某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加,本次大赛首轮进行 3 × 3 阶魔方赛,组委会随机将爱好者平均分到20个区域,每个区域30名同时进行比赛,完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐;如图是 3 × 3 阶魔方赛 A 区域30名爱好者完成时间统计图,求:
① A 区域 3 × 3 阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例(结果用最简分数表示).
②若 3 × 3 阶魔方赛各个区域的情况大体一致,则根据 A 区域的统计结果估计在 3 × 3 阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数.
③若 3 × 3 阶魔方赛 A 区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒,求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率(结果用最简分数表示).
如图,抛物线 y = m x 2 − 16 mx + 48 m ( m > 0 ) 与 x 轴交于 A , B 两点(点 B 在点 A 左侧),与 y 轴交于点 C ,点 D 是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接 OD 、 BD 、 AC 、 AD ,延长 AD 交 y 轴于点 E .
(1)若 ΔOAC 为等腰直角三角形,求 m 的值;
(2)若对任意 m > 0 , C 、 E 两点总关于原点对称,求点 D 的坐标(用含 m 的式子表示);
(3)当点 D 运动到某一位置时,恰好使得 ∠ ODB = ∠ OAD ,且点 D 为线段 AE 的中点,此时对于该抛物线上任意一点 P ( x 0 , y 0 ) 总有 n + 1 6 ⩾ − 4 3 m y 0 2 − 12 3 y 0 − 50 成立,求实数 n 的最小值.
若三个非零实数 x , y , z 满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数 x , y , z 构成“和谐三组数”.
(1)实数1,2,3可以构成“和谐三组数”吗?请说明理由;
(2)若 M ( t , y 1 ) , N ( t + 1 , y 2 ) , R ( t + 3 , y 3 ) 三点均在函数 y = k x ( k 为常数, k ≠ 0 ) 的图象上,且这三点的纵坐标 y 1 , y 2 , y 3 构成“和谐三组数”,求实数 t 的值;
(3)若直线 y = 2 bx + 2 c ( bc ≠ 0 ) 与 x 轴交于点 A ( x 1 , 0 ) ,与抛物线 y = a x 2 + 3 bx + 3 c ( a ≠ 0 ) 交于 B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) 两点.
①求证: A , B , C 三点的横坐标 x 1 , x 2 , x 3 构成“和谐三组数”;
②若 a > 2 b > 3 c , x 2 = 1 ,求点 P ( c a , b a ) 与原点 O 的距离 OP 的取值范围.
自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后,我省与欧洲各国经贸往来日益频繁,某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品,经调查,用16000元采购 A 型商品的件数是用7500元采购 B 型商品的件数的2倍,一件 A 型商品的进价比一件 B 型商品的进价多10元.
(1)求一件 A , B 型商品的进价分别为多少元?
(2)若该欧洲客商购进 A , B 型商品共250件进行试销,其中 A 型商品的件数不大于 B 型的件数,且不小于80件.已知 A 型商品的售价为240元 / 件, B 型商品的售价为220元 / 件,且全部售出.设购进 A 型商品 m 件,求该客商销售这批商品的利润 v 与 m 之间的函数关系式,并写出 m 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,欧洲客商决定在试销活动中每售出一件 A 型商品,就从一件 A 型商品的利润中捐献慈善资金 a 元,求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益.
如图, AB 与 ⊙ O 相切于点 C , OA , OB 分别交 ⊙ O 于点 D , E , CD ̂ = CE ̂
(1)求证: OA = OB ;
(2)已知 AB = 4 3 , OA = 4 ,求阴影部分的面积.