如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已知OM⊥CD，∠1=∠2．

求证：∠2+∠3=90°．

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先化简，再求值： $(\frac{a + 1}{a + 2} + \frac{1}{a - 2}) \div \frac{2}{a^{2} - 4}$ ，其中 $a = \sqrt{2}$ ．

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解不等式组： $\{\begin{matrix} 5 - x ⩾ 3 (x - 1) ① \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} < 1 ② \end{matrix}$ ．

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在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (1, 3)$ ， $B (4, 1)$ ， $C (1, 1)$ ．

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $x$ 轴成轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）画出 $ΔABC$ 以点 $O$ 为位似中心，位似比为 $1 : 2$ 的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $BC$ 为斜边，分别以 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ 为斜边向外侧作 $Rt Δ ABD$ ， $Rt Δ ACE$ ， $Rt Δ BCF$ ，若 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ，则面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系式为　　；

推广验证

（2）如图3，在 $Rt Δ ABC$ 中， $BC$ 为斜边，分别以 $AB$ ， $AC$ ， $BC$ 为边向外侧作任意 $ΔABD$ ， $ΔACE$ ， $ΔBCF$ ，满足 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ， $∠ D = ∠ E = ∠ F$ ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $ABCDE$ 中， $∠ A = ∠ E = ∠ C = 105 °$ ， $∠ ABC = 90 °$ ， $AB = 2 \sqrt{3}$ ， $DE = 2$ ，点 $P$ 在 $AE$ 上， $∠ ABP = 30 °$ ， $PE = \sqrt{2}$ ，求五边形 $ABCDE$ 的面积．

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已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	0	$- 3$	$n$	$- 3$	$\dots$

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向　　，对称轴为　　；

（2）求抛物线的表达式及 $m$ ， $n$ 的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点 $P$ 为抛物线上的动点， $OP$ 的中点为 $P^{'}$ ，描出相应的点 $P^{'}$ ，再把相应的点 $P^{'}$ 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线 $y = m (m > - 2)$ 与抛物线及（3）中的点 $P^{'}$ 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ，请根据图象直接写出线段 $A_{1} A_{2}$ ， $A_{3} A_{4}$ 之间的数量关系　　．

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