已知函数.(Ⅰ)设,若在上单调递增,求实数的取值范围;(Ⅱ)求证:存在,使.
设 a 为实数,函数 f x = e x - 2 x + 2 a , x ∈ R 。 (Ⅰ)求 f x 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a > ln 2 - 1 且 x > 0 时, e x > x 2 - 2 a x + 1 。
设 △ A B C 是锐角三角形, a , b , c 分别是内角 A , B , C 所对边长,并且 sin 2 A = sin ( π 3 + B ) sin ( π 3 - B ) + sin 2 B ,
(Ⅰ)求角 A 的值;
(Ⅱ)若 A B · ⇀ A C ⇀ = 12 , a = 2 7 ,求 b , c (其中 b < c ).
已知 ∆ A B C 的三边长为有理数 (1)求证 cos A 是有理数; (2)对任意正整数 n ,求证 cos n A 也是有理数.
某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%。生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立. (1)记 X 单位:万元)为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列. (2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
(1)几何证明选讲 A B 是 ⊙ O 的直径, D 为 ⊙ O 上一点,过点 D 作 ⊙ O 的切线交 A B 延长线于 C ,若 D A = D C ,求证 A B = 2 B C .
(2)矩阵与变换 在平面直角坐标系 x O y 中, A ( 0 , 0 ) , B ( - 3 , 0 ) , C ( - 2 , - 1 ) ,设 k ≠ 0 , k ∈ R , M = [ k 0 0 1 ] , N = [ 0 1 1 0 ] ,点 A , B , C 在矩阵 M N 对应的变换下得到点 A 1 , B 1 , C 1 , △ A 1 B 1 C 1 的面积是 △ A B C 面积的2倍,求实数 k 的值 (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中,圆 ρ = 2 cos θ 与直线 3 ρ c s θ + 4 ρ sin θ + a = 0 相切,求实数 a 的值. (4)不等式证明选讲 已知实数 a , b ≥ 0 ,求证: a 3 + b 3 ≥ a b ( a 2 + b 2 ) .