（本小题满分14分）已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分14分）已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程．

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已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^{2} \frac{x}{2} - 2$ .

（Ⅰ）将函数 $f (x)$ 化简成 $A \sin (ω x + φ) + B (A > 0, φ > 0, φ \in [0, 2 π))$ 求 $f (x)$ 的周期；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ ;在 $[π, \frac{17 π}{12]}]$ 上的最大值和最小值.

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已知数列 ${a_{n}}$ ： $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = r, a_{n + 3} = a_{n} + 2$ （ $n$ 是正整数），与数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1, b_{2} = 0, b_{3} = - 1, b_{4} = 0, b_{n + 4} = b_{n}$ （ $n$ 是正整数）．记 $T_{n} = b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2} + b_{3} a_{3} + . . . + b_{n} a_{n}$ ．
（1）若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{12} = 64$ ，求 $r$ 的值；
（2）求证：当 $n$ 是正整数时， $T_{128} = - 4 n$ ；
（3）已知 $r > 0$ ，且存在正整数 $m$ ，使得在 $T_{12 m + 1}, T_{12 m + 2}, . . ., T_{12 m + 12}$ 中有4项为100．求 $r$ 的值，并指出哪4项为100．

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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ．
（1）求双曲线 $C$ 的渐近线方程；
（2）已知点M的坐标为 $(0, 1)$ ．设 $P$ 是双曲线 $C$ 上的点， $Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点．记 $λ = M P \times M Q$ ．求 $λ$ 的取值范围；
（3）已知点 $D, E, M$ 的坐标分别为 $(- 2, - 1) (2, - 1) (0, 1)$ ， $P$ 为双曲线 $C$ 上在第一象限内的点．记 $l$ 为经过原点与点 $P$ 的直线， $s$ 为 $∆ D E M$ 截直线 $l$ 所得线段的长．试将 $s$ 表示为直线 $l$ 的斜率k的函数．

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已知函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{|x|}}$ ．
（1）若 $f (x) = 2$ ，求 $x$ 的值；
（2）若 $2^{t} f (2 t) + m f (t) \geq 0$ 对于 $t \in [1, 2]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $g (x) = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ ，直线 $x = t (t \in R)$ 与函数 $f (x), g (x)$ 的图象分别交于 $M$ 、 $N$ 两点．

（1）当 $t = \frac{π}{4}$ 时，求 $|M N|$ 的值；
（2）求 $|M N|$ 在 $t \in [0, \frac{π}{2}]$ 时的最大值．

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