如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E

如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．

（1）请你写出四个不同类型的正确结论；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．

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如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + \frac{7}{4}$ ，经过 $A (1, 0)$ 、 $B (7, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于 $D$ 点，以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作等边 $ΔABC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$ 轴上方的抛物线上是否存在点 $M$ ，是 $S_{ΔABM} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} S_{ΔABC}$ ？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $E$ 是线段 $AC$ 上的动点， $F$ 是线段 $BC$ 上的动点， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $P$ ．

①若 $CE = BF$ ，试猜想 $AF$ 与 $BE$ 的数量关系及 $∠ APB$ 的度数，并说明理由；

②若 $AF = BE$ ，当点 $E$ 由 $A$ 运动到 $C$ 时，请直接写出点 $P$ 经过的路径长（不需要写过程）．

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把 ${(\sin α)}^{2}$ 记作 $\sin^{2} α$ ，根据图1和图2完成下列各题．

（1） $\sin^{2} A_{1} + \cos^{2} A_{1} =$ 　　， $\sin^{2} A_{2} + \cos^{2} A_{2} =$ 　　， $\sin^{2} A_{3} + \cos^{2} A_{3} =$ 　　；

（2）观察上述等式猜想：在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，总有 $\sin^{2} A + \cos^{2} A =$ 　　；

（3）如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中证明（2）题中的猜想：

（4）已知在 $ΔABC$ 中， $∠ A + ∠ B = 90 °$ ，且 $\sin A = \frac{12}{13}$ ，求 $\cos A$ ．

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赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点 $A$ 驶向终点 $B$ ，在整个行程中，龙舟离开起点的距离 $y$ （米 $)$ 与时间 $x$ （分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）起点 $A$ 与终点 $B$ 之间相距多远？

（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？

（3）分别求甲、乙两支龙舟队的 $y$ 与 $x$ 函数关系式；

（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？

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今年端午前夕，某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，对某小区居民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成图1、图2两幅统计图（尚不完整），请根据统计图解答下列问题：

（1）参加抽样调查的居民有多少人？

（2）将两幅不完整的统计图补充完整；

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃 $D$ 粽的人数．

（4）若有外型完全相同的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 粽各一个，煮熟后，小韦吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 $C$ 粽的概率．

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如图，已知 $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点， $DE ⊥ AC$ 交 $AC$ 的延长线于 $E$ ， $⊙ O$ 的切线交 $AD$ 的延长线于 $F$ ．

（1）求证：直线 $DE$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）已知 $DG ⊥ AB$ 且 $DE = 4$ ， $⊙ O$ 的半径为5，求 $\tan ∠ F$ 的值．

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