为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人）

（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选人担任指导小组组长，求这人分别来自这两个社团的概率．

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对于数对序列 $P : (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}), \dots, (a_{n}, b_{n})$ ，记 $T_{1} (P) = a_{1} + b_{1}$ ， $T_{k} (P) = b_{k} + M a x \{T_{k - 1} (P), a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}\} (2 \leq k \leq n)$ ，其中 $M a x \{T_{k - 1} (P), a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}\}$ 表示 $T_{k - 1} (P)$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 两个数中最大的数.
（1）对于数对序列 $P : (2, 5), (4, 1)$ ，求 $T_{1} (P), T_{2} (P)$ 的值；

（2）记 $m$ 为 $a, b, c, d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对 $(a, b), (c, d)$ 组成的数对序列 $P : (a, b), (c, d)$ 和 $P ` : (c, d), (a, b)$ ，试分别对 $m = a$ 和 $m = d$ 两种情况比较 $T_{2} (P)$ 和 $T_{2} (P `)$ 的大小；（3）在由五个数对 $(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 $P$ 使 $T_{5} (P)$ 最小，并写出 $T_{5} (P)$ 的值.(只需写出结论).

题型：未知
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已知椭圆 $C : x^{2} + 2 y^{2} = 4$ .
（1）求椭圆 $C$ 的离心率；
（2）设 $O$ 为原点，若点 $A$ 在椭圆 $C$ 上，点 $B$ 在直线 $y = 2$ 上，且 $O A ⊥ O B$ ，试判断直线 $A B$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的位置关系，并证明你的结论.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x, x \in [0, \frac{π}{2}]$ .
（1）求证： $f (x) \leq 0$ ；
（2）若 $a < \frac{\sin x}{x} < b$ 对 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 恒成立，求 $a$ 的最大值与 $b$ 的最小值.

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如图，正方体 $M A D E$ 的边长为2, $B, C$ 分别为 $A M, M D$ 的中点,在五棱锥 $P - A B C D E$ 中, $F$ 为棱 $P E$ 的中点,平面 $A B F$ 与棱 $F D$ , $P C$ 分别交于 $G$ , $H$ .

（1）求证： $A B ∥ F G$ ；
（2）若 $P A ⊥$ 底面 $A B C D E$ ，且 $P A = A E$ ，求直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成角的大小，并求线段 $P H$ 的长.

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李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）：

场次	投篮次数	命中次数	场次	投篮次数	命中次数
主场1	22	12	客场1	18	8
主场2	15	12	客场2	13	12
主场3	12	8	客场3	21	7
主场4	23	8	客场4	18	15
主场5	24	20	客场5	25	12

（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这场比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）

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