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更新 2022-09-03
科目数学
题型计算题
难度较易
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计算：

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小军同学在学校组织的社会实践活动中，负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位： $t$ ），并绘制了样本的频数分布表：

月均用水量	$2 ⩽ x < 3$	$3 ⩽ x < 4$	$4 ⩽ x < 5$	$5 ⩽ x < 6$	$6 ⩽ x < 7$	$7 ⩽ x < 8$	$8 ⩽ x < 9$
频数	2	12	①	10	②	3	2
百分比	$4 %$	$24 %$	$30 %$	$20 %$	③	$6 %$	$4 %$

（1）请根据题中已有的信息补全频数分布：①　　，②　　，③　　；

（2）如果家庭月均用水量在 $5 ⩽ x < 8$ 范围内为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？

（3）记月均用水量在 $2 ⩽ x < 3$ 范围内的两户为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，在 $7 ⩽ x < 8$ 范围内的3户 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ 、 $b_{3}$ ，从这5户家庭中任意抽取2户，试完成下表，并求出抽取出的2户家庭来自不同范围的概率．

	$a_{1}$	$a_{2}$	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$
$a_{1}$
$a_{2}$
$b_{1}$
$b_{2}$
$b_{3}$

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$P_{n}$ 表示 $n$ 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么 $P_{n}$ 与 $n$ 的关系式是： $P_{n} = \frac{n (n - 1)}{24} \cdot (n^{2} - an + b)$ （其中 $a$ ， $b$ 是常数， $n ⩾ 4)$

（1）通过画图，可得：四边形时， $P_{4} =$ 　　；五边形时， $P_{5} =$ 　　

（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求 $a$ ， $b$ 的值．

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先化简，再求值： $\frac{a^{2} + a}{a^{2} - 2 a + 1} \div (\frac{2}{a - 1} - \frac{1}{a})$ ，其中 $a$ 是方程 $2 x^{2} + x - 3 = 0$ 的解．

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如图1，已知平行四边形 $ABCD$ 顶点 $A$ 的坐标为 $(2, 6)$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴上，且 $AD / / BC / / x$ 轴，过 $B$ ， $C$ ， $D$ 三点的抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(2, 2)$ ，点 $F (m, 6)$ 是线段 $AD$ 上一动点，直线 $OF$ 交 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形 $ABEF$ 的面积为 $S$ ，请求出 $S$ 与 $m$ 的函数关系式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；

（3）如图2，过点 $F$ 作 $FM ⊥ x$ 轴，垂足为 $M$ ，交直线 $AC$ 于 $P$ ，过点 $P$ 作 $PN ⊥ y$ 轴，垂足为 $N$ ，连接 $MN$ ，直线 $AC$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $H$ ， $G$ ，试求线段 $MN$ 的最小值，并直接写出此时 $m$ 的值．

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某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆 $AB$ 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长 $BC$ 为4米，落在斜坡上的影长 $CD$ 为3米， $AB ⊥ BC$ ，同一时刻，光线与水平面的夹角为 $72 °$ ，1米的竖立标杆 $PQ$ 在斜坡上的影长 $QR$ 为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sin 72 ° \approx 0.95$ ， $\cos 72 ° \approx 0.31$ ， $\tan 72 ° \approx 3.08)$

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