下边左图和右图是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A和点B在小正方形的顶点上.(1)在左图的小正方形顶点上找到一个点C,画出△ABC,使△ABC为直角三角形;(2)在右图的小正方形顶点上找到一个点D,画出△ABD,使△ABD为等腰三角形.
(本题10分,每小题5分)化简并求值:(1),其中,,.(2),其中,.
(本题5分)计算:.
(本题10分)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …,这样的数称为“三角形数”,而把1、4、9、16…,这样的数称为“正方形数”. (1)第5个三角形数是 ,第n个“三角形数”是 ,第5个“正方形数”是 ,第n个正方形数是 ; (2)经探究我们发现:任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和. 例如:①4=1+3,②9=3+6,③16=6+10,④ ,⑤ ,…. 请写出上面第4个和第5个等式; (3)在(2)中,请探究第n个等式,并证明你的结论.
(本题5分)定义:对于实数a,符号[a]表示不大于a的最大整数.例如:[5.7]=5,[5]=5,[﹣π]=﹣4. (1)如果[a]=﹣2,那么a的取值范围是 . (2)如果,求满足条件的所有正整数x.
(本题8分)如图,所有小正方形的边长都为1个单位,A、B、C均在格点上. (1)过点C画线段AB的平行线; (2)过点A画线段BC的垂线,垂足为G,过点A再画线段AB的垂线,交BC于点H; (3)线段 的长度是点A到直线BC的距离,线段AH的长度是点 到直线 的距离. (4)线段AG、AH的大小关系为AG<AH,理由是 .