（本小題满分13分）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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（本小題满分13分）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点．
（1）若,求外接圆的方程;
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．

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某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为 $a_{n}$ 万元.
（Ⅰ）用d表示 $a_{1}, a_{2}$ ，并写出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过 $m (m \geq 3)$ ）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D / / B C$ ， $A C ⊥ B D$ .

（Ⅰ）证明： $B D ⊥ P C$ ；
（Ⅱ）若 $A D = 4$ ， $B C = 2$ ，直线 $P D$ 与平面 $P A C$ 所成的角为30°，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (x \in R, ω > 0, 0 < ω < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（Ⅱ）求函数 $g (x) = f (x - \frac{12}{π}) - f (x + \frac{π}{12})$ 的单调递增区间.

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某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

一次购物量	1至4件	5至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顾客数（人）	$x$	30	25	$y$	10
结算时间（分钟/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定 $x$ ， $y$ 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）

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设函数 $f (x) = a x^{n} (1 - x) + b (x > 0)$ ， $n$ 为正整数， $a, b$ 为常数，曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + y = 1$ .
（1）求 $a, b$ 的值；

（2）求函数 $f (x)$ 的最大值；

（3）证明： $f (x) < \frac{1}{n e}$ .

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