已知函数(1)求不等式的解集;(2)若关于x的不等式的解集非空,求实数的取值范围.
已知椭圆:(),其焦距为,若(),则称椭圆为“黄金椭圆”.(1)求证:在黄金椭圆:()中,、、成等比数列.(2)黄金椭圆:()的右焦点为,为椭圆上的任意一点.是否存在过点、的直线,使与轴的交点满足?若存在,求直线的斜率;若不存在,请说明理由.(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆:()的左、右焦点分别是、,以、、、为顶点的菱形的内切圆过焦点、.试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.
如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道,是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点,分别落在线段上.已知米,米,记.(1)试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域;(2)若,求此时管道的长度;(3)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.
如图,在棱长为的正方体中,为线段上的点,且满足.(Ⅰ)当时,求证:平面平面;(Ⅱ)试证无论为何值,三棱锥的体积恒为定值;(Ⅲ)求异面直线与所成的角的余弦值.
泉州市为鼓励企业发展“低碳经济”,真正实现“低消耗、高产出”,施行奖惩制度.通过制定评分标准,每年对本市的企业抽查评估,评出优秀、良好、合格和不合格四个等次,并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入万元改造,由于自身技术原因,能达到以上四个等次的概率分别为,且由此增加的产值分别为万元、万元、万元、万元.设该企业当年因改造而增加利润为.(Ⅰ)在抽查评估中,该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少?(Ⅱ)求的数学期望.
在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为棱AB的中点,点P在平面A1B1C1D1内,若D1P⊥平面PCE,试求线段D1P的长。