如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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挑错有奖

如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，
连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求弦BD的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

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某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．

$[$ 观察思考 $]$

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图 $2)$ ；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图 $3)$ ；以此类推．

$[$ 规律总结 $]$

（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　　块；

（2）若一条这样的人行道一共有 $n (n$ 为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　　（用含 $n$ 的代数式表示）．

$[$ 问题解决 $]$

（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？

题型：未知
难度：未知

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学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 $AEFD$ 为矩形，点 $B$ 、 $C$ 分别在 $EF$ 、 $DF$ 上， $∠ ABC = 90 °$ ， $∠ BAD = 53 °$ ， $AB = 10 cm$ ， $BC = 6 cm$ ．求零件的截面面积．参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ．

题型：未知
难度：未知

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解不等式： $\frac{x - 1}{3} - 1 > 0$ ．

题型：未知
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抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $B (- 1, 0)$ ， $C (0, 3)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 是抛物线上位于直线 $AC$ 上方的一点， $BP$ 与 $AC$ 相交于点 $E$ ，当 $PE : BE = 1 : 2$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $D$ 是抛物线的顶点，将抛物线沿 $CD$ 方向平移，使点 $D$ 落在点 $D^{'}$ 处，且 $D D^{'} = 2 CD$ ，点 $M$ 是平移后所得抛物线上位于 $D^{'}$ 左侧的一点， $MN / / y$ 轴交直线 $O D^{'}$ 于点 $N$ ，连结 $CN$ ．当 $\frac{\sqrt{5}}{5} D^{'} N + CN$ 的值最小时，求 $MN$ 的长．

题型：未知
难度：未知

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已知，在 $ΔABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ．

（1）如图1，已知点 $D$ 在 $BC$ 边上， $∠ DAE = 90 °$ ， $AD = AE$ ，连结 $CE$ ．试探究 $BD$ 与 $CE$ 的关系；

（2）如图2，已知点 $D$ 在 $BC$ 下方， $∠ DAE = 90 °$ ， $AD = AE$ ，连结 $CE$ ．若 $BD ⊥ AD$ ， $AB = 2 \sqrt{10}$ ， $CE = 2$ ， $AD$ 交 $BC$ 于点 $F$ ，求 $AF$ 的长；

（3）如图3，已知点 $D$ 在 $BC$ 下方，连结 $AD$ 、 $BD$ 、 $CD$ ．若 $∠ CBD = 30 °$ ， $∠ BAD > 15 °$ ， $A B^{2} = 6$ ， $A D^{2} = 4 + \sqrt{3}$ ，求 $\sin ∠ BCD$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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