甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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甲、乙、丙三人中要选一人去参加唱歌比赛，于是他们制定了一个规则，规则为：(如图)以为起点，再从，这个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为，若就让甲去；若就让乙去；若就是丙去.
（Ⅰ）写出数量积的所有可能取值；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人去参加比赛的概率，并由求出的概率来说明这个规则公平吗？

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下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天.

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

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已知函数 $f (x) = (2 \cos^{2} x - 1) \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 4 x$
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若 $a \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $f (a) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = x - 1 + \frac{a}{e^{x}}$ （ $a \in R, e$ 为自然对数的底数）
（Ⅰ）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (x))$ 处的切线平行于 $x$ 轴,求 $a$ 的值；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的极值；
（Ⅲ）当 $a = 1$ 时,若直线 $l : y = k x - 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 没有公共点,求 $k$ 的最大值.

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如图，在等腰直角 $△ O P Q$ 中， $∠ P O Q = 90^{°}$ ， $O P = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 在线段 $P Q$ 上.

(Ⅰ) 若 $O M = \sqrt{5}$ ，求 $P M$ 的长；
（Ⅱ）若点 $N$ 在线段 $M Q$ 上，且 $∠ M O N = 30^{°}$ ，问：当 $∠ P O M$ 取何值时， $△ O M N$ 的面积最小？并求出面积的最小值.

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如图，抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ .点 $C$ 在抛物线 $E$ 上，以 $C$ 为圆心， $|C O|$ 为半径作圆，设圆 $C$ 与准线 $l$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

（I）若点 $C$ 的纵坐标为2，求 $|M N|$ ；
（II）若 ${|A F|}^{2} = |A M| \cdot |A N|$ ，求圆 $C$ 的半径.

题型：未知
难度：未知

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