已知二次函数f(x)=(1)若f(0)>0,求实数p的取值范围(2)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c,使f(c)>0,求实数p的取值范围。
如图,在正方形 O A B C 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( 10 , 0 ) ,点 C 的坐标为 ( 0 , 10 ) ,分别将线段 O A 和 A B 十等分,分点分别记为 A 1 , A 2 , ⋯ , A 9 和 B 1 , B 2 , ⋯ , B 9 ,连接 O B i ,过 A i 作 x 轴的垂线与 O B i 交于点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 。
(1)求证:点 P i ( i ∈ N * , 1 ≤ i ≤ 9 ) 都在同一条抛物线上,并求抛物线 E 的方程; (2)过点 C 作直线 l 与抛物线E交于不同的两点 M , N , 若 ∆ O C M 与 ∆ O C N 的面积之比为4:1,求直线 l 的方程。
已知函数 f ( x ) = x - a ln x ( a ∈ R ) 当 a = 2 时,求曲线 y = f ( x ) 在点 A ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程;求函数 f ( x ) 的极值.
某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 2 3 ,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为 2 5 ,中奖可以获得3分;未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品。 (Ⅰ)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X ,求 X ≤ 3 的概率; (Ⅱ)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的焦距为4,且过点 P 2 , 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q x 0 , y 0 x 0 y 0 ≠ 0 为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E 。取点 A 0 , 2 2 ,连接 A E ,过点 A 作 A E 的垂线交 x 轴于点 D 。点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 Q G ,问这样作出的直线 Q G 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由.
设函数 f ( x ) = a x - ( 1 + a 2 ) x 2 ,其中 a > 0 ,区间 I = { x | f ( x ) > 0 } . (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 ( α , β ) 的长度定义为 β - α ; (Ⅱ)给定常数 k ∈ ( 0 , 1 ) ,当 1 - k ≤ a ≤ 1 + k 时,求 I 长度的最小值.