已知数列满足:,(1)求、;(2)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.(3)求证: ()
(本小题共13分)如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船.(Ⅰ)求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离;(Ⅱ)设乙船沿直线方向前往处救援,其方向与成角,求 (x∈)的值域.
如图, F 为双曲线 C : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 a > 0 , b > 0 的右焦点。 P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x 轴上方, M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四边形 O F P M 为平行四边形, P F = λ O F .
(Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 λ 的关系式; (Ⅱ)当 λ = 1 时,经过焦点 F 且品行于 O P 的直线交双曲线于 A 、 B 点,若 A B = 12 ,求此时的双曲线方程.
数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a 1 = 1 2 , S n = n 2 a n - n ( n - 1 ) , n = 1 , 2 …
(Ⅰ)写出 S n 与 S n - 1 的递推关系式 ( n ≥ 2 ) ,并求 S n 关于 n 的表达式;
(Ⅱ)设 f n ( x ) = S n n x n + 1 , b n = f n ( p ) ( p ∈ R ) ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n .
已知函数 f x 在 R 上有定义,对任何实数 a > 0 和任何实数 x ,都有 f a x = a f x
(Ⅰ)证明 f 0 = 0 ;
(Ⅱ)证明 f x = k x , x ≥ 0 h x , x < 0 ,其中 k 和 h 均为常数; (Ⅲ)当(Ⅱ)中的 k > 0 时,设 g x = 1 f x + f x x > 0 ,讨论 g x 在 0 , + ∞ 内的单调性并求极值.
如图, P 是边长为1的正六边形 A B C D E F 所在平面外一点, P A = 1 , P 在平面 A B C 内的射影为 B F 的中点 O .
(Ⅰ)证明 P A ⊥ B F ; (Ⅱ)求面 A P B 与面 D P B 所成二面角的大小.