解不等式组:,且写出使不等式组成立的所有整数.
计算: x ( x + 2 ) + ( 1 + x ) ( 1 - x ) .
如图,锐角三角形 ABC 内接于 ⊙ O , ∠ BAC 的平分线 AG 交 ⊙ O 于点 G ,交 BC 边于点 F ,连接 BG .
(1)求证: ΔABG ∽ ΔAFC .
(2)已知 AB = a , AC = AF = b ,求线段 FG 的长(用含 a , b 的代数式表示).
(3)已知点 E 在线段 AF 上(不与点 A ,点 F 重合),点 D 在线段 AE 上(不与点 A ,点 E 重合), ∠ ABD = ∠ CBE ,求证: B G 2 = GE ⋅ GD .
在直角坐标系中,设函数 y = a x 2 + bx + 1 ( a , b 是常数, a ≠ 0 ) .
(1)若该函数的图象经过 ( 1 , 0 ) 和 ( 2 , 1 ) 两点,求函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标;
(2)写出一组 a , b 的值,使函数 y = a x 2 + bx + 1 的图象与 x 轴有两个不同的交点,并说明理由.
(3)已知 a = b = 1 ,当 x = p , q ( p , q 是实数, p ≠ q ) 时,该函数对应的函数值分别为 P , Q .若 p + q = 2 ,求证: P + Q > 6 .
如图,在 ΔABC 中, ∠ ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D , AE ⊥ BC 于点 E .已知 ∠ ABC = 60 ° , ∠ C = 45 ° .
(1)求证: AB = BD ;
(2)若 AE = 3 ,求 ΔABC 的面积.
在直角坐标系中,设函数 y 1 = k 1 x ( k 1 是常数, k 1 > 0 , x > 0 ) 与函数 y 2 = k 2 x ( k 2 是常数, k 2 ≠ 0 ) 的图象交于点 A ,点 A 关于 y 轴的对称点为点 B .
(1)若点 B 的坐标为 ( - 1 , 2 ) ,
①求 k 1 , k 2 的值;
②当 y 1 < y 2 时,写出 x 的取值范围;
(2)若点 B 在函数 y 3 = k 3 x ( k 3 是常数, k 3 ≠ 0 ) 的图象上,求 k 1 + k 3 的值.