已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合,它们的离心率之和为,若椭圆的焦点在y轴上.(1)求双曲线的离心率,并写出其渐近线方程;(2)求椭圆的标准方程.
全集,若集合,,则(Ⅰ)求,,;(Ⅱ)若集合,,求a的取值范围;(结果用区间或集合表示)
定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的上界.已知函数; (I)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;(Ⅱ)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;(Ⅲ)已知,函数在上的上界是,求的取值范围.
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比,其关系如图(1);投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图(2).(注:收益与投资额单位:万元)(Ⅰ)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;(Ⅱ)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,.(Ⅰ)现已画出函数在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数的图象,并根据图象写出函数的增区间;(Ⅱ)求出函数的解析式和值域.
已知函数(Ⅰ)判断函数的奇偶性,并加以证明;(Ⅱ)用定义证明在上是增函数;(Ⅲ)求出函数在的最值.