若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y <2.(1)求a的取值范围;(2)若a=1,方程组的解是等腰三角形的两条边的长,求此等腰三角形的周长.
(1)计算: 8 3 +|﹣5|+(﹣1)2023 .
(2)已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 (0,1) 与点 (2,5) ,求该一次函数的表达式.
如图,在锐角△ABC中, ∠ A = 60 ° ,点D,E分别是边AB,AC上一动点,连接BE交直线CD于点F.
(1)如图1,若 A B > A C ,且 B D = C E , ∠ B C D = ∠ C B E ,求 ∠ C F E 的度数;
(2)如图2,若 A B = A C ,且 B D = A E ,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN.在点D,E运动过程中,猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想;
(3)若 A B = A C ,且 B D = A E ,将 △ A B C 沿直线AB翻折至 △ A B C 所在平面内得到 △ A B P ,点H是AP的中点,点K是线段PF上一点,将 △ P H K 沿直线HK翻折至 △ P H K 所在平面内得到 △ Q H K ,连接PQ.在点D,E运动过程中,当线段PF取得最小值,且 Q K ⊥ P F 时,请直接写出 PQ BC 的值.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = 1 2 x 2 + bx + c 与直线AB交于点 A ( 0 , ﹣ 4 ) , B ( 4 , 0 ) .
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作 x 轴的平行线交AB于点C,过点P作 y 轴的平行线交 x 轴于点D,求 P C + P D 的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)中 P C + P D 取得最大值的条件下,将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位,点E为点P的对应点,平移后的抛物线与 y 轴交于点F,M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形,写出所有符合条件的点N的坐标,并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.
若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数,则这个四位数M为“勾股和数”.
例如: M = 2543 ,∵ 3 2 + 4 2 = 25 ,∴2543是“勾股和数”;
又如: M = 4325 ,∵ 5 2 + 2 2 = 29 , 29 ≠ 43 ,∴4325不是“勾股和数”.
(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”,并说明理由;
(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记 G ( M ) = c + d 9 , P ( M ) = 10 a - c + b - d 3 .当 G ( M ) , P ( M ) 均是整数时,求出所有满足条件的M.
如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向, A C = 200 米 .点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向, B D = 100 米 .点B在点A的北偏东30°,点D在点E的北偏东45°.
(1)求步道DE的长度(精确到个位);
(2)点D处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近?
(参考数据: 2 ≈ 1 . 414 , 3 ≈ 1 . 732 )