如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点P是边AB上

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合)，点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

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矩形 $ABCD$ 中， $AB = 8$ ， $AD = 12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $DE$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $BC$ 上，连接 $AP$ ，求 $\frac{AP}{DE}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $AB$ 的中点， $EP$ 的延长线交 $BC$ 于点 $F$ ，求 $BF$ 的长．

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某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．

请用所学概率知识解决下列问题：

（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；

（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．

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为了解全校学生对"垃圾分类"知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对"垃圾分类"知识的掌握情况分成四个等级： $A$ 表示"优秀"， $B$ 表示"良好"， $C$ 表示"合格"， $D$ 表示"不合格"．第一小组认为，八年级学生对"垃圾分类"知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．

第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表．

两个小组的调查结果如图的图表所示：

第二小组统计表

等级	人数	百分比
$A$	17	$18.9 %$
$B$	38	$42.2 %$
$C$	28	$31.1 %$
$D$	7	$7.8 %$
合计	90	$100 %$

若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：

（1）第　　小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对"垃圾分类"知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约　　人；

（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．

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如图，直线 $l_{1} : y = x + 3$ 与过点 $A (3, 0)$ 的直线 $l_{2}$ 交于点 $C (1, m)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ．

（1）求直线 $l_{2}$ 的解析式；

（2）点 $M$ 在直线 $l_{1}$ 上， $MN / / y$ 轴，交直线 $l_{2}$ 于点 $N$ ，若 $MN = AB$ ，求点 $M$ 的坐标．

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（1）如图①，点 $D$ 在 $AB$ 上，点 $E$ 在 $AC$ 上， $AD = AE$ ， $∠ B = ∠ C$ ．求证： $AB = AC$ ．

（2）如图②， $A$ 为 $⊙ O$ 上一点，按以下步骤作图：

①连接 $OA$ ；

②以点 $A$ 为圆心， $AO$ 长为半径作弧，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ；

③在射线 $OB$ 上截取 $BC = OA$ ；

④连接 $AC$ ．

若 $AC = 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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