已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：对于任意的多项式与任意复数z，整除。利用上述定理解决下列问题：
在复数范围内分解因式：；
求所有满足整除的正整数n构成的集合A。

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如图, 四棱柱 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形, $O$ 为底面中心, $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .

(Ⅰ) 证明: $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ;
(Ⅱ) 求平面 $O C B_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的夹角 $θ$ 的大小.

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设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.
(Ⅰ) 推导 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式;
(Ⅱ) 设 $q \neq 1$ , 证明数列 $\{a_{n} + 1\}$ 不是等比数列.

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已知向量 $a = (\cos x, - \frac{1}{2}), b = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x), x \in R$ , 设函数 $f (x) = a \cdot b$ .
(Ⅰ) 求 $f (x)$ 的最小正周期.
(Ⅱ) 求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$ ，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
(I)求椭圆 $C$ 的方程;
(II) $A, B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的任意两点， $E$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O E$ 交椭圆 $C$ 与点 $P$ ，设，求实数 $\overset{⇀}{O P} = t \overset{⇀}{O E}$ 的值.

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已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - \ln x (a, b \in R)$ .

(Ⅰ)设 $a \geq 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间;
(Ⅱ) 设 $a > 0$ ，且对于任意 $x > 0$ ， $f (x) \geq f (1)$ .试比较 $\ln a$ 与 $- 2 b$ 的大小.

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