已知函数，（1）求的极值（2）若在上恒成立，求的取值范围（3

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数，
（1）求的极值
（2）若在上恒成立，求的取值范围
（3）已知，且，求证

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在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (1, 1), B (2, 3), C (3, 2)$ ，点 $P (x, y)$ 在 $△ A B C$ 三边围成的区域（含边界）上.
（1）若 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{0}$ ，求 $|\overset{⇀}{O P}|$ ；
（2）设 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{A B} + n \overset{⇀}{A C}$ ( $m, n \in R$ )，用 $x, y$ 表示 $m - n$ ，并求的最大值.

题型：未知
难度：未知

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四面体 $A B C D$ 及其三视图如图所示，过棱 $A B$ 的中点 $E$ 作平行于 $A D, B C$ 的平面分别交四面体的棱 $B D, D C, C A$ 于点 $F, G, H$ .

（1）证明：四边形 $E F G H$ 是矩形；
（2）求直线 $A B$ 与平面 $E F G H$ 夹角 $θ$ 的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .
（1）若 $a, b, c$ 成等差数列，证明： $\sin A + \sin C = 2 \sin (A + C)$ ；
（2）若 $a, b, c$ 成等比数列，求 $\cos B$ 的最小值.

题型：未知
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已知抛物线 $C : y = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为 $C$ 上异于原点的任意一点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴的正半轴于点 $D$ ，且有 $|F A| = |F D|$ .当点 $A$ 的横坐标为时， $∆ A D F$ 为正三角形.
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，且 $l_{1}$ 和 $C$ 有且只有一个公共点 $E$ ，
（ⅰ）证明直线 $A E$ 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ） $∆ A B E$ 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

题型：未知
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设函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} - k (\frac{2}{x} + \ln x)$ （ $k$ 为常数， $e = 2.71828 . . .$ 是自然对数的底数）.
（Ⅰ）当 $k \leq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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