已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$\left(a>b>0\right)$）的左焦点为$F\left(-2,0\right)$，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
（1）求椭圆$C$的标准方程；
（2）设$O$为坐标原点，$T$为直线$x=-3$上任意一点，过$F$作$TF$的垂线交椭圆$C$于点$P,Q$.当四边形$OPTQ$是平行四边形时，求四边形$OPTQ$的面积.