设各项均为正数的数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_n$满足$S_n^2-\left(n^2+n-3\right)S_n-3\left(n^2+n\right)=0$，$n\in N^{+}$.
（1）求$a_1$的值；
（2）求数列$\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（3）证明：对一切正整数$n$，有$\frac{1}{a_1\left(a_1+1\right)}+\frac{1}{a_2\left(a_2+1\right)}+...+\frac{1}{a_n\left(a_n+1\right)}<\frac{1}{3}$.