已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆$C$的标准方程；
（2）设$F$为椭圆$C$的左焦点,$T$为直线$x=-3$上任意一点，过$F$作$TF$的垂线交椭圆$C$于点$P,Q$.
（i）证明:$OT$平分线段$PQ$(其中$O$为坐标原点)；
（ii）当$\frac{\left|TF\right|}{\left|PQ\right|}$最小时,求点$T$的坐标.