已知数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $\frac{1}{3}{a}_n\le a_{n+1}\le 3a_n,n\in N^{+},a_1=1$.
（1）若 $a_2=2,a_3=x,a_4=9$，求 $x$的取值范围；
（2）若 $\left\{a_n\right\}$是公比为 $q$等比数列， $S_n=a_1+a_2+...+a_n$， $\frac{1}{3}{S}_n\le S_{n+1}\le 3S_n,n\in N^{+}$求 $q$的取值范围；
（3）若 $a_1,a_2,...,a_k$成等差数列，且 $a_1+a_2+...+a_k=1000$，求正整数 $k$的最大值，以及 $k$取最大值时相应数列 $a_1,a_2,...,a_k$的公差.