如图，设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，点 $D$在椭圆上， $D{F}_1\perp F_1{F}_2$， $\frac{\left|F_1{F}_2\right|}{\left|D{F}_1\right|}=2\sqrt{2}$， $△D{F}_1{F}_2$的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在 $y$轴上的圆，使圆在 $x$轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.