一商场有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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一商场有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑，某中学准备从甲、乙两种品牌的电脑中各选购一种型号的电脑安装到各班教室．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表法表示）；
（2）若（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号被选中的概率是多少？
（3）已知该中学用18万元人民币购买甲、乙两种品牌电脑刚好32台（价格如下表所示，单位：万元），其中甲品牌电脑选为A型号，求该中学购买到A型号电脑多少台？

品牌	甲	乙
型号	A	B	C	D	E
单价（万元）	0．6	0．4	0．25	0．5	0．2

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如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ D$ ，求证： $CB = CD$ ．

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如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的对称轴是直线 $x = 3$ ，且与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点 $(B$ 点在 $A$ 点右侧）与 $y$ 轴交于 $C$ 点．

（1）求抛物线的解析式和 $A$ 、 $B$ 两点的坐标；

（2）若点 $P$ 是抛物线上 $B$ 、 $C$ 两点之间的一个动点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），则是否存在一点 $P$ ，使 $ΔPBC$ 的面积最大．若存在，请求出 $ΔPBC$ 的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若 $M$ 是抛物线上任意一点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，交直线 $BC$ 于点 $N$ ，当 $MN = 3$ 时，求 $M$ 点的坐标．

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如图，某测量小组为了测量山 $BC$ 的高度，在地面 $A$ 处测得山顶 $B$ 的仰角 $45 °$ ，然后沿着坡度为 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的坡面 $AD$ 走了200米达到 $D$ 处，此时在 $D$ 处测得山顶 $B$ 的仰角为 $60 °$ ，求山高 $BC$ （结果保留根号）．

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学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类： $A$ ：好， $B$ ：中， $C$ ：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中 $A$ 类1人， $B$ 类2人， $C$ 类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是 $B$ 类学生的概率．

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请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}$ ， $y_{2})$ 满足下列条件：

① $| \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}$

② $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α$ （角 $α$ 的取值范围是 $0 ° < α < 90 °)$ ；

③ $\vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}$ ， $3)$ ，求角 $α$ 的大小；

解： $∵ | \vec{a} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = 2$ ，

$\vec{b} = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

$∴ \vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | \times | \vec{b} | \cos α = 2 \times 2 \sqrt{3} \cos α = 4 \sqrt{3} \cos α$

又 $∵ \vec{a} \otimes \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 1 \times (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \times 3 = 2 \sqrt{3}$

$∴ 4 \sqrt{3} \cos α = 2 \sqrt{3}$

$∴ \cos α = \frac{1}{2}$ ， $∴ α = 60 °$

$∴$ 角 $α$ 的值为 $60 °$ ．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，求角 $α$ 的大小．

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