以下茎叶图记录了甲，乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩（

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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以下茎叶图记录了甲，乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩（十位数字为茎，个位数字为叶）.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示.
（1）若甲，乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；
（2）当时，分别从甲，乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.

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设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数;
（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
   （i）用所给编号列出所有可能的结果;
   （ii）设A为事件"编号为的两名运动员至少有一人被抽到",求事件A发生的概率.

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = n x - x^{n}, x \in R$ ，其中 $n \in N^{*}, n \geq 2$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设曲线 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $P$ ，曲线在点 $P$ 处的切线方程为 $y = g (x)$ ,求证：对于任意的正实数 $x$ ，都有 $f (x) < g (x)$ ；
（Ⅲ）若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ ( $a$ 为实数）有两个正实根 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $|x_{2} - x_{1}| < \frac{a}{1 - n} + 2$

题型：未知
难度：未知

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ,离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点M在椭圆上且位于第一象限，直线 $F M$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{4}$ 截得的线段的长为 $c$ ， $|F M| = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

（Ⅰ）求直线 $F M$ 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $F P$ 的斜率大于 $\sqrt{2}$ ，求直线 $O P$ （ $O$ 为原点）的斜率的取值范围.

题型：未知
难度：未知

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = q a_{n}$ ( $q 为实数，且 q \neq 1$ ), $n \in N^{*}$ , $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $a_{2} + a_{3}$ , $a_{3} + a_{4}$ , $a_{4} + a_{5}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求 $q$ 的值和 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{\log_{2} a_{2 n}}{a_{2 n - 1}}$ , $n \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A ⊥ 底面 A B C D$ , $A B ⊥ A C, A B = 1, A C = A A_{1} = 2, A D = C D = \sqrt{5}$ ,且点M和N分别为 $B_{1} C 和 D_{1} D$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $M N ∥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $D_{1} - A C - B_{1}$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长

题型：未知
难度：未知

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