甲乙两人进行乒乓球比赛，各局相互独立，约定每局胜者得1分，负

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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甲乙两人进行乒乓球比赛，各局相互独立，约定每局胜者得1分，负者得0分，如果两人比赛五局，乙得1分与得2分的概率恰好相等.
求乙在每局中获胜的概率为多少？
假设比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，用表示比赛停止时已打局数，求的期望.

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在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 2 \cos α \\ y = 2 + 2 \sin α \end{cases} (α 为参数)$ , $M$ 是 $C_{1}$ 上的动点， $P$ 点满足, $P$ 点的轨迹为曲线 $C_{2}$ .
（1）求 $C_{2}$ 的方程
（2）在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $θ = \frac{π}{3}$ 与 $C_{1}$ 的异于极点的交点为 $A$ ，与 $C_{2}$ 的异于极点的交点为 $B$ ，求 $|A B|$ .

题型：未知
难度：未知

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如图， $D, E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点，且不与 $△ A B C$ 的顶点重合。已知 $A E$ 的长为 $m$ ， $A C$ 的长为 $n$ , $A D, A B$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 14 x + m n = 0$ 的两个根。

（1）证明： $C, B, D, E$ 四点共圆；
（2）若 $∠ A = 90 °$ ，且 $m = 4, n = 6$ ，求 $C, B, D, E$ 所在圆的半径。

题型：未知
难度：未知

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已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x + 1} + \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + 2 y - 3 = 0$ 。
（1）求 $a$ 、 $b$ 的值；
（2）如果当 $x > 0$ ，且 $x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{\ln x}{x - 1} + \frac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围。

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, - 1), B$ 点在直线 $y = - 3$ 上， $M$ 点满足 $\vec{M B} / / \vec{O A}, \vec{M A} \cdot \vec{A B} = \vec{M B} \cdot \vec{B A}$ ， $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2） $P$ 为 $C$ 上的动点， $l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处得切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

题型：未知
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某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 $A$ 配方和 $B$ 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

$A$ 配方的频数分布表

$B$ 配方的频数分布表

（1）分别估计用 $A$ 配方， $B$ 配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生成的一件产品的利润 $y$ (单位：元)与其质量指标值 $t$ 的关系式为 $y = {\begin{matrix} - 2, t < 94 \\ 2, 94 \leq t < 102 \\ t \geq 102 \end{matrix}$ ,
从用 $B$ 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 $X$ （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

题型：未知
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