已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
（1）(ⅰ)求椭圆的方程；（ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；
（2）在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．

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已知 $a$ 为正实数， $n$ 为自然数，抛物线 $y = - x^{2} + \frac{a^{n}}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴相交于点 $A$ ，设 $f (n)$ 为该抛物线在点 $A$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距。
（Ⅰ）用 $a$ 和 $n$ 表示；
（Ⅱ）求对所有 $n$ 都有 $\frac{f (n) - 1}{f (n) + 1} \geq \frac{n}{n + 1}$ 成立的 $a$ 的最小值；
（Ⅲ）当 $0 < a < 1$ 时，比较 $\frac{1}{f (1) - f (2)} + \frac{1}{f (2) - f (4)} + \dots + \frac{1}{f (n) - f (2 n)}$ 与 $6 \cdot \frac{f (1) - f (n + 1)}{f (0) - f (1)}$ 的大小，并说明理由。

题型：未知
难度：未知

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如图，动点 $M$ 与两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且直线 $M A, M B$ 的斜率之积为4，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ 。

（Ⅰ）求轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $y = x + m (m > 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q, R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围。

题型：未知
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已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，常数 $λ > 0$ ，且 $λ a_{1} a_{n} = S_{1} + S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 都成立.
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $a_{1} > 0$ ， $λ = 100$ ，当 $n$ 为何值时，数列 $\{l g \frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和最大？

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如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A P B = 90 °$ ， $∠ P A B = 60 °$ ， $A B = B C = C A$ ，点 $P$ 在平面 $A B C$ 内的射影 $O$ 在 $A B$ 上。

（Ⅰ）求直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角 $B - A P - C$ 的大小。

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \cos^{2} \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若 $f (a) = \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\sin 2 a$ 的值.

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