如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中，直线的方程为

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中，直线的方程为，直线的方程为．

（1）若，，求的值；
（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

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设数列 $\{a n\} (n ＝ 1, 2, 3 \dots)$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{3}$ ,且 $a_{1}, a_{2} ＋ 1, a_{3}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ,求 $T_{n}$ .

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已知函数 $f (x) = - 2 (x + a) \ln x + x^{2} - 2 a x - 2 a^{2} + a$ ，其中 $a > 0$ .
（1）设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，评论 $g (x)$ 的单调性；
（2）证明：存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 内恒成立，且 $f (x) = 0$ 在 $(1, + \infty)$ 内有唯一解.

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如图，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $P (0, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 $E$ 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ .