已知矩阵A的逆矩阵A-1=,求矩阵A的特征值.
如图,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中, A B = 2 , A D = 1 , A 1 A = 1 ,证明直线 B C 1 平行于平面 D A 1 C ,并求直线 B C 1 到平面 D 1 A C 的距离.
给定常数 c > 0 ,定义函数 f x = 2 x + c + 4 - x + c ,数列 a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ 满足 a n + 1 = f a n , n ∈ N * . (1)若 a 1 = - c - 2 ,求 a 2 及 a 3 ; (2)求证:对任意 n ∈ N * , a n + 1 - a n ≥ c ; (3)是否存在 a 1 ,使得 a 1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯ 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a 1 ,若不存在,说明理由.
已知函数 f x , x ∈ R . (Ⅰ) 若直线 y = k x + 1 与 f x 的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x > 0 , 讨论曲线 y = f x 与曲线 y = m x 2 m > 0 公共点的个数. (Ⅲ) 设 a < b , 比较 f a + f b 2 与 f b - f a b - a 的大小, 并说明理由.
已知动圆过定点 A ( 4 , 0 ) , 且在 y 轴上截得的弦 M N 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B ( - 1 , 0 ) , 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P , Q , 若 x 轴是 ∠ P B Q 的角平分线, 证明直线 l 过定点.
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 X 的分布列和数学期望.