一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．
(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．

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在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到两点 $(0, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ 的距离之和等于4，设点 $P$ 的轨迹为 $C$ ，直线 $y = k x + 1$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点．
（Ⅰ）写出 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若 $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{O B}$ ，求 $k$ 的值；
（Ⅲ）若点 $A$ 在第一象限，证明：当 $k > 0$ 时，恒有 $|\overset{⇀}{O A}| > |\overset{⇀}{O B}|$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A^{`} B^{`} C^{`} D^{`}$ 中， $A P = B Q = b (0 < b < 1)$ ，截面 $P Q E F ∥ A^{`} D$ ，截面 $P Q G H ∥ A D^{`}$ ．

（Ⅰ）证明：平面 $P Q E F$ 和平面 $P Q G H$ 互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面 $P Q E F$ 和截面 $P Q G H$ 面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若 $D^{`} E$ 与平面 $P Q E F$ 所成的角为 $45^{°}$ ，求 $D^{`} E$ 与平
面 $P Q E F$ 所成角的正弦值．

题型：未知
难度：未知

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某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元， $ξ$ 表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元).若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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难度：未知

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在 $∆ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 对边的边长分别是 $a, b, c$ ，已知 $c = 2, C = \frac{π}{3}$ ．
（Ⅰ）若 $∆ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求 $a, b$ ；
（Ⅱ）若 $\sin C + \sin (B - A) = 2 \sin 2 A$ ，求 $∆ A B C$ 的面积．

题型：未知
难度：未知

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已知曲线 $C$ 是到点 $P (- \frac{1}{2}, \frac{3}{8})$ 和到直线 $y = - \frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹， $l$ 是过点 $Q (- 1, 0)$ 的直线是 $C$ 上（不在 $l$ 上）的动点； $A$ 、 $B$ 在 $l$ 上， $M A ⊥ l$ , $M B ⊥ x 轴$ 轴（如图）.

（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求出直线 $l$ 的方程，使得 $\frac{{|Q B|}^{2}}{|Q A|}$ 为常数.

题型：未知
难度：未知

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