已知数列是首项为，公比的等比数列，设.（1）求证数列的前n项

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知数列是首项为，公比的等比数列，设.

（1）求证数列的前n项和；
（2）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

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在直角坐标系 $x O y$ 中,以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ, θ \in [0, \frac{π}{2}]$ ．
（1）求 $C$ 得参数方程；
（2）设点 $D$ 在 $C$ 上, $C$ 在 $D$ 处的切线与直线 $l : y = \sqrt{3} x + 2$ 垂直,根据（1）中你得到的参数方程,确定 $D$ 的坐标．

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如图， $P$ 是 $圆 O$ 外一点， $P A$ 是切线， $A$ 为切点，割线 $P B C$ 与 $圆 O$ 相交于 $B, C$ ， $P C = 2 P A$ ， $D$ 为 $P C$ 的中点， $A D$ 的延长线交 $圆 O$ 于点 $E$ ．证明：
（1） $B E = E C$ ；
（2） $A D \cdot D E = 2 P B^{2}$

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已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线与轴交点的横坐标为 $- 2$ ．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：当 $k < 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = k x - 2$ 只有一个交点．

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设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $M$ 是 $C$ 上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ．
（1）若直线 $M N$ 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 $C$ 的离心率；
（2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$ ，且 $|M N| = 5 |F_{1} N|$ ，求 $a, b$ ．

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某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：

（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优．

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