如图,在平行四边形ABCD中,AB2BC,∠ABC120°,

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E为线段AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.

(1)求证:BF∥平面A′DE;
(2)设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\cos C + (\cos A - \sqrt{3} \sin A) \cos B = 0$ .

（1）求角 $B$ 的大小；
（2）若 $a + c = 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

题型：未知
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设 $n$ 是正整数， $r$ 为正有理数．
（1）求函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r + 1} - (r + 1) x - 1 (x > - 1)$ 的最小值；
（2）证明： $\frac{n^{r + 1} - {(n - 1)}^{r + 1}}{r + 1} < n^{r} < \frac{{(n + 1)}^{r + 1} - n^{r + 1}}{r + 1}$ ；
（3）设 $x \in R$ ，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2] = 2, [π] = 4, [- \frac{3}{2}] = - 1$ ．令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \dots + \sqrt[3]{125} ，求 S$ 的值．
（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7, 81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5 ， 124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3 ， 126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7$ ．

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如图，已知椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的中心在坐标原点 $O$ ，长轴均为 $M N$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2 m, 2 n (m > n)$ ，过原点且不与 $x$ 轴重合的直线l $l$ 与 $C_{1}, C_{2}$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ ，记 $λ = \frac{π}{n}$ ， $∆ B D M$ 和 $∆ A B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ．
（1）当直线 $l 与 y$ 轴重合时，若 $S_{1} = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的值；
（2）当 $λ$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ ，使得 $S_{1} = λ S_{2}$ ？并说明理由．

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假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N$ （800，50²）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 $p_{0}$ ．
（1）求 $p_{0}$ 的值；
（参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ , $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ．
（2）某客运公司用 $A, B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次， $A, B$ 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车7辆．若每天要以不小于 $p_{0}$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、 $B$ 型车各多少辆？

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如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，直线 $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是 $P A, P C$ 的中点．
（1）记平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ，试判断直线l与平面 $P A C$ 的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线 $l$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $D$ ，且点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = \frac{1}{2} \vec{C P}$ ．记直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $θ$ ，异面直线与 $E F$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $E - l - C$ 的大小为 $β$ ．求证： $\sin θ = \sin α \sin β$ ．

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