水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%.
(1)试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？
(2)为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？

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设函数 $f （ x ）＝（ 1 - x^{2} ） \cdot e^{x}$ ．

（1）讨论 $f （ x ）$ 的单调性；

（2）当 $x \geq 0$ 时， $f （ x ） \leq ax + 1$ ，求实数a的取值范围．

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设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\vec{NP} = \sqrt{2} \vec{NM}$ ．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线 $x ＝﹣ 3$ 上，且 $\vec{OP} \cdot \vec{PQ} = 1$ ．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

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海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

$P （ K^{2} \geq K ）$	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n {(ad - bc)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， $AB ＝ BC ＝ \frac{1}{2} AD$ ， $∠ BAD ＝ ∠ ABC ＝ 90 °$ ．

（1）证明：直线BC∥平面PAD；

（2）若△PCD面积为 $2 \sqrt{7}$ ，求四棱锥 $P - ABCD$ 的体积．

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已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n，等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为T_n， $a_{1} ＝﹣ 1$ ， $b_{1} ＝ 1$ ， $a_{2} + b_{2} ＝ 2$ ．

（1）若 $a_{3} + b_{3} ＝ 5$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（2）若 $T_{3} ＝ 21$ ，求S₃．

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