如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°.过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为E、F,连接EF,求证:△DEF为等边三角形.
学校开展以“劳动创造美好生活”为主题的系列活动,同学们积极参与主题活动的规划、实施、组织和管理,组成调查组、采购组、规划组等多个研究小组.
调查组设计了一份问卷,并实施两次调查.活动前,调查组随机抽取50名同学,调查他们一周的课外劳动时间 t (单位: h ),并分组整理,制成如下条形统计图.活动结束一个月后,调查组再次随机抽取50名同学,调查他们一周的课外劳动时间t(单位:h),按同样的分组方法制成如下扇形统计图.其中A组为 0 ≤ t < 1 ,B组为 1 ≤ t < 2 ,C组为 2 ≤ t < 3 ,D组为 3 ≤ t < 4 ,E组为 4 ≤ t < 5 ,F组为 t ≥ 5 .
(1)判断活动前、后两次调查数据的中位数分别落在哪一组;
(2)该校共有2000名学生,请根据活动后的调查结果,估计该校学生一周的课外劳动时间不小于 3 h 的人数.
如图,点B,F,C,E在同一条直线上, B F = E C , A B = D E , ∠ B = ∠ E .求证: ∠ A = ∠ D .
在平面直角坐标系xOy中,已知点 M ( a , b ) ,N.
对于点P给出如下定义:将点P向右 ( a ≥ 0 ) 或向左 ( a < 0 ) 平移 | a | 个单位长度,再向上 ( b ≥ 0 ) 或向下 ( b < 0 ) 平移 | b | 个单位长度,得到点P′,点P′关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.
(1)如图,点 M ( 1 , 1 ) ,点N在线段OM的延长线上.若点 P ( ﹣ 2 , 0 ) ,点Q为点P的“对应点”.
①在图中画出点Q;
②连接PQ,交线段ON于点T,求证: N T = 1 2 O M ;
(2)⊙O的半径为 1 ,M是⊙O上一点,点N在线段OM上,且 O N = t ( 1 2 < t < 1 ) ,若P为⊙O外一点,点Q为点P的“对应点”,连接PQ.当点M在⊙O上运动时,直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).
在△ABC中, ∠ A C B = 90 ° ,D为△ABC内一点,连接BD,DC,延长DC到点E,使得 C E = D C .
(1)如图1,延长BC到点F,使得 C F = B C ,连接AF,EF.若 A F ⊥ E F ,求证: B D ⊥ A F ;
(2)连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若 A B 2 = A E 2 + B D 2 ,用等式表示线段CD与CH的数量关系,并证明.
在平面直角坐标系 x O y 中,点 ( 1 , m ) , ( 3 , n ) 在抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a > 0 ) 上,设抛物线的对称轴为直线 x = t .
(1)当 c = 2 , m = n 时,求抛物线与 y 轴交点的坐标及 t 的值;
(2)点 ( x 0 , m ) ( x 0 ≠ 1 ) 在抛物线上.若 m < n < c ,求 t 的取值范围及 x 0 的取值范围.