对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N^*上，函数值也在N^*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k))＝3k.
(1)证明：f(3k)＝3f(k)；
(2)求f(3^k－1)(k∈N^*)的值；
(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由．