已知函数f(x)＝alnx＝(a为常数)．(1)若曲线y＝f

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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已知函数f(x)＝aln x＝(a为常数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围．

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设函数 $f (x) = e^{2 x} - a \ln x$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的导函数 $f ` (x)$ 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 $a > 0$ 时 $f (x) \geq 2 a + a \ln \frac{2}{a}$ .

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已知过点 $A (1, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于 $M, N$ 两点.
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ） $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O N} = 12$ ,其中 $O$ 为坐标原点,求 $|M N|$ .

题型：未知
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某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：千元）对年销售量 $y$ （单位： $t$ ）和年利润 $z$ （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{8} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - y)$	$\sum_{i = 1}^{8} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中 $w_{i}$ = $\sqrt{x_{i}}$ _ ，_{$\bar{w}$  }= $\frac{1}{8}$ $\sum_{i = 1}^{8} w_{i}$

（Ⅰ）根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c + d \sqrt{x}$ ，哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 $z = 0.2 y - x$  ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（Ⅰ）当年宣传费 $x = 90$ 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（Ⅱ）当年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ , $(u_{2}, v_{2})$ ，……， $(u_{n}, v_{n})$ ,其回归线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - u)}^{2}}$ ， $α = \bar{v} - β u$

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如图四边形 $A B C D$ 为菱形， $G$ 为 $A C$ 与 $B D$ 交点， $B E ⊥ 平面 A B C D$ ，

（Ⅰ）证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $B E D$ ；
（Ⅱ）若 $∠ A B C = 120^{°}, A E ⊥ E C$ ,三棱锥 $E - A C D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱锥的侧面积.

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已知 $a, b, c$ 分别是 $∆ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边， $\sin^{2} B = 2 \sin A \sin C$ .
（Ⅰ）若 $a = b$ ，求 $\cos B$ .
（Ⅱ）若 $B = 90^{°}$ 且 $a = \sqrt{2}$ ,求 $∆ A B C$ 的面积.

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