如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC＝a，∠ABC＝θ，设△ABC的面积为S₁，正方形的PQRS面积为S₂.

(1)用a，θ表示S₁和S₂；
(2)当a固定，θ变化时，求的最小值．

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如图， $P C B M$ 是直角梯形， $∠ P C B = 90^{°}$ ， $P M$ $∥$ $B C$ ， $P M = 1$ ， $B C = 2$ ，又 $A C = 1$ ， $∠ A C B = 120^{°}$ ， $A B ⊥ P C$ ，直线 $A M$ 与直线 $P C$ 所成的角为 $60^{°}$ .

（Ⅰ）求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ;
（Ⅱ）求二面角 $M - A C - B$ 的大小;
（Ⅲ）求三棱锥 $P - M A C$ 的体积.

题型：未知
难度：未知

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已知 $\cos α = \frac{1}{7}$ , $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ ，且 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ .

(Ⅰ)求 $\tan 2 a$ 的值.
（Ⅱ）求 $β$ .

题型：未知
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已知抛物线 $y = x^{2}$ 和三个点 $M (x_{0}, y_{0}), P (0, y_{0}), N (- x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq {x_{0}}^{2}, y_{0} > 0)$ ，过点 $M$ 的一条直线交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点， $A P$ 、 $B P$ 的延长线分别交曲线 $C$ 于 $E$ 、 $F$ ．

（1）证明 $E 、 F 、 N$ 三点共线；
（2）如果 $A$ 、 $B$ 、 $M$ 、 $N$ 四点共线，问：是否存在 $y_{0}$ ，使以线段 $A B$ 为直径的圆与抛物线有异于 $A$ 、 $B$ 的交点？如果存在，求出 $y_{0}$ 的取值范围，并求出该交点到直线 $A B$ 的距离；若不存在，请说明理由．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} a x^{3} - a^{2} x^{2} + a^{4} (a > 0)$

（1）求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $y = f (x)$ 的图像与直线 $y = 1$ 恰有两个交点，求 $a$ 的取值范围．

题型：未知
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如图，正三棱锥 $O - A B C$ 的三条侧棱 $O A, O B, O C$ 两两垂直，且长度均为2． $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 的平面与侧棱 $O A, O B, O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ，已知 $O A_{1} = \frac{3}{2}$ ．

（1）求证： $B_{1} C_{1}$ ⊥面 $O A H$ ；
（2）求二面角 $O - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的大小．

题型：未知
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