已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．

(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)已知二面角PBFC的余弦值为，求四棱锥PABCD的体积．

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如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ , $F_{2}$ ,且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P F_{1}$ .

（Ⅰ）若 $|P F_{1}| = 2 + \sqrt{2}$ , $|P F_{2}| = 2 - \sqrt{2}$ |，求椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若 $|P Q| = λ |P F_{1}|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq λ \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围.

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如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，点 $D, E$ 在线段 $A C$ 上，且 $A D = D E = E C = 2, P D = P C = 4$ ，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，且 $E F ∥ B C$ .

（Ⅰ）证明： $A B ⊥$ 平面 $P F E$ .
（Ⅱ）若四棱锥 $P - D F B C$ 的体积为7，求线段 $B C$ 的长.

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已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} (a \in R)$ 在 $x = - \frac{4}{3}$ 处取得极值.
（Ⅰ）确定 $a$ 的值，
（Ⅱ）若 $g (x) = f (x) e^{x}$ ，讨论的单调性.

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已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x - \sqrt{3} \cos^{2} x$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小周期和最小值，
（Ⅱ）将函数 $f (x)$ 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图像.当 $x \in [\frac{π}{2}, π]$ 时，求 $g (x)$ 的值域.

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随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：

年份	2010	2011	2012	2013	2014
时间代号 $t$	1	2	3	4	5
储蓄存款 $y$ （千亿元）	5	6	7	8	10

（Ⅰ）求 $y$ 关于 $t$ 的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$

（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（ $t = 6$ ）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} t + \hat{a}$ 中 $\{\begin{cases} b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \cdot y}{\sum_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{2} - n x^{2}} \\ a = y - b x \end{cases}$

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