如图,已知点是线段的中点,点是线段的中点,点是线段的中点.(1)若线段,求线段的长.(2)若线段,求线段的长.
在等腰梯形 ABCD 中, AB = DC = 5 , AD = 4 , BC = 10 ,点 E 在下底边 BC 上,点 F 在腰 AB 上.
(1)若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长,设 BE 长为 x ,试用含 x 的代数式表示 △ BEF 的面积;
(2)是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分?若存在,求出此时 BE 的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1 : 2 的两部分?若存在,求出此时 BE 的长;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中, △ AOB 的边 OA 在 x 轴上, OA = AB ,且线段 OA 的长是方程 x 2 - 4 x - 5 = 0 的根,过点 B 作 BE ⊥ x 轴,垂足为 E , tan ∠ BAE = 4 3 ,动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度,从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动,到达点 B 停止.过点 M 作 x 轴的垂线,垂足为 D ,以 MD 为边作正方形 MDCF ,点 C 在线段 OA 上,设正方形 MDCF 与 △ AOB 重叠部分的面积为 S ,点 M 的运动时间为 t ( t > 0 ) s .
(1)求点 B 的坐标;
(2)求 S 关于 t 的函数解析式,并写出自变量 t 的取值范围;
(3)当点 F 落在线段 OB 上时,坐标平面内是否存在一点 P ,使以 M , A , O , P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知二次函数的图象与 x 轴交于 A 和 B - 3 , 0 两点,与 y 轴交于 C 0 , - 3 ,对称轴为直线 x = - 1 ,直线 y = - 2 x + m 经过点 A ,且与 y 轴交于点 D ,与抛物线交于点 E ,与对称轴交于点 F .
(1)求抛物线的解析式和 m 的值;
(2)在 y 轴上是否存在点 P ,使得以 D , E , P 为顶点的三角形与 △ AOD 相似,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)直线 y = 1 上有 M , N 两点 ( M 在 N 的左侧 ) ,且 MN = 2 ,若将线段 MN 在直线 y = 1 上平移,当它移动到某一位置时,四边形 MEFN 的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).
在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图①,两个固定长度的“连杆” AP , BP 的连接点 P 在 ⊙ O 上,当点 P 在 ⊙ O 上转动时,带动点 A , B 分别在射线 OM , ON 上滑动, OM ⊥ ON .当 AP 与 ⊙ O 相切时,点 B 恰好落在 ⊙ O 上,如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.
(1)求证: ∠ PAO = 2 ∠ PBO ;
(2)若 ⊙ O 的半径为 5 , AP = 20 3 ,求 BP 的长.
如图,已知 ⊙ O 是四边形 ABCD 的外接圆,直线 AD , BC 相交于点 E , F 是弦 CD 的中点,延长直线 EF 交弦 AB 于点 G ,求证:
(1) ED ⋅ EA = EC ⋅ EB ;
(2) AG : GB = A E 2 : B E 2 .