已知中心在原点的椭圆C：的一个焦点为F₁(0,3)，M(x,4)(x＞0)为椭圆C上一点，△MOF₁的面积为.
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．